Många fenomen i verkligheten uppför sig linjärt. Om man skjuter med ett gevär och kulan kommer för högt, så sänker man geväret inför nästa skott. Genom att ändra positionen kan man med allt mindre justeringar träffa rätt. Så uppför sig en linjär fysikalisk process.
Icke-linjära processer
Vi kan tänka oss att vi vill studera hur antalet fjällämlar varierar från år till år. Det är rimligt att anta att antalet lämlar nästa år är proportionellt mot antalet lämlar i år, så länge det finns samma levnadsförutsättningar, som exempelvis mat. Dock om antalet lämlar blir för stort så kommer en minskning att ske, eftersom maten blir en begränsning.
Dessa processer kan formuleras i en enkel matematisk modell, som har några intressanta egenskaper. Antalet lämlar ett visst år Xn+1 kan uttryckas som en funktion av antalet föregående år Xn som: Xn+1 = A·Xn -0.001·Xn·Xn , X0=1500, A=4 Det är den andra termen (-0.001·Xn·Xn) som är intressant för den är icke-linjär, eftersom den innehåller produkten av Xn med sig själv.
Antag nu att denna modell gäller, och vi beräknar denna talföljd. Vi gör sedan om samma process, men använder ett något annorlunda startvärde nämligen X0=1499.
I figuren är antalet lämlar de först åren mycket lika i de två experimenten, men efter ca 6 år börjar det skilja sig och senare finns det inga likheter alls mellan kurvorna. Detta beror på den icke-linjära termen och kallas kaos. Med andra ord kan en mycket liten ändring av startvärdet i en icke-linjär process ge, efter en viss tid, ett helt annorlunda utfall än utan denna ändring. Detta kallas en kaotisk process, och den har vissa egenskaper, till exempel håller sig lösningen hela tiden inom ett begränsat område (det går inte till oändligheten). Denna ekvation diskuteras mera ingående i artikeln Ensembleprognoser.
Vad har kaos med vädret att göra?
En numerisk väderprognosmodell innehåller icke-linjära termer. Ett enkelt exempel är att det kan bli kallare i en punkt om det blåser från ett visst håll där det befinner sig kallare luft, och ju större temperaturskillnad det är och vid kraftigare vind blir punkten kallare. Detta är icke-linjärt, eftersom processen innehåller skillnader i vindhastighet och temperatur, som båda är variabler i systemet. Detta innebär att prognosmodellen uppför sig kaotiskt.
Om man gör ett liknande experiment som den enkla modellen ovan, med en prognosmodell, som har miljontals variabler (temperaturer, vindar, fuktighet etc. på många platser och i många nivåer), och till exempel ändrar temperaturen i en punkt i utgångsläget med en halv grad, och kör om prognosen, så kommer vädret efter en viss tid att skilja sig åt mellan prognoserna lika mycket som två godtyckliga väderlägen.
Den tid som prognoserna är tillräckligt nära varandra anger hur länge man har något värde i informationen och kallas prediktabiliteten för systemet. Man har beräknat denna tidsgräns till ca två veckor. Detta är alltså den teoretiska gränsen för en traditionell väderprognos.
Långtidsprognoser
Längre prognoser är av mera klimatologisk karaktär. Om man fortsätter att köra modellen under mycket lång tid (dvs. bortom prediktabilitetsgränsen), kommer varje dag i körningen att se realistisk ut med rimliga väderutvecklingar, men det enda informationsvärde som finns är modellens klimatologiska egenskaper.
Det är detta som är idén bakom en klimatsimulering. Icke-linjäriteten hos en prognosmodell gör att lösningar kan skilja sig från varandra ganska mycket även på en kortare tidsskala om man gör flera olika körningar, med något olika initialtillstånd, eller något olika modellformuleringar. Genom ett noggrant val av dessa körningar, kan man säga något om sannolikhetsfördelningen av prognoserna. Detta kallas ensembleprognoser.
För den intresserade rekommenderas boken Kaos av James Gleick.