Kalmanfiltrering av numeriska prognoser

Kalmanfiltrering är en matematisk metod att optimalt bestämma statistiska parametrar ur ett begränsat antal observationer. Adaptiva filter är kraftfulla verktyg för att statistiskt korrigera numeriska väderprognoser.

Väderprognoser, både manuella och numeriska (NWP) lider i princip av två typer av fel: systematiska och icke-systematiska. De icke-systematiska är de som mest låter tala om sig: det gäller prognoserade väderfenomen som inte anländer i tid eller inte alls, ibland kraftigare än vad som utlovats, ibland svagare.

Medan dessa osystematiska fel inte kan korrigeras, bara dämpas (genom ensembleprognoser eller statistisk tolkning) så kan systematiska fel korrigeras, just därför att de är systematiska. Det som kommer att beskrivas här är en teknik som utvärderar och eliminerar de systematiska felen i en så kallad adaptiv process, där det matematiska verktyget är ett så kallat Kalmanfilter.

Innan vi går in på fördelarna med adaptiva metoder och Kalmanfilter, så måste vi först göra klart för oss vad vi faktiskt menar med "systematiska fel" i väderparametrarna i numeriska väderprognoser (NWP). Det är nämligen inte helt självklart att definiera vad som utgör ett systematiskt fel, inte ens prognosfel.

Dessutom kan systematiska prognosfel i vissa fall ha sitt ursprung i osystematiska fel, och bara skenbart vara systematiska. Med "systematiska fel" avser vi dagligt tal oftast att något är genomgående över- eller underprognoserat; temperaturen är systematiskt för låg, nederbörden överskattas eller vinden underskattas.

Det adaptiva angreppssättet

De systematiska felen ovan är inte konstanta för exempelvis en viss ort, utan de varierar sakta under säsongerna, påverkade av fysikaliska omständigheter som strålningsförhållandena, snötäckt mark, vattenhalten i jorden och så vidare.

Felkorrektionerna kan då bestämmas adaptivt, det vill säga att de fortlöpande uppdateras beroende på nyligen gjorda prognoser verifierade mot observationer.

Löpande medelvärde

För en enkel bias kan ett löpande medelvärde;
Ny korrektion = A· föregående korrektion + B · (verifikation - föregående prognos) fungera bra. Användbara värden på t.ex. A och B är 0.8 och 0.2.
Om det systematiska felet under en viss tid är cirka +1º men nya verifikationer visar att det plötsligt, t.ex. efter en modellförändring, vuxit till +3º så kommer detta system inom en vecka ha förändrat korrigeringen så här +1.0º → 1.4º → 1.7º → 2.0º → 2.2º → 2.4º → 2.5º → 2.6º → 2.7º

För så enkla systematiska fel är det alltså tveksamt om det är nödvändigt med ett Kalmanfilter.

Kalmanfilter

Kalmanfiltrering är en matematisk metod att optimalt bestämma statistiska parametrar ur ett begränsat antal observationer. Det utvecklades under det kalla kriget för att styra interkontinentala raketer; utifrån de första osäkra observationerna av position och hastighet skulle markstationen snabbt kunna fatta beslut om att modifiera kursen. Den kom också till användning vid Apollo-11 landning på månen 1969, och senare inom kontroll- och regleringsteorin med applikationer.

Kalmanfiltrering har en stor betydelse när den statistiska naturen hos ett system förändras med tiden, som till exempel relationen mellan den prognoserade och observerade temperaturen. Det är för övrigt en applikation som R. H. Kalman själv föreslog vid ett besök på italienska vädertjänsten i Rom 1986.

I korthet fungerar systemet så att vi gör en slags "prognos" på felet. För en viss prognos får man ett värde på det förväntade felet E(t) ur en observationsfelekvation (av felet mellan prognos och observation).

Detta prognosfelsvärde jämförs sedan med det observerade felet, varpå koefficienterna i felekvationen justeras en aning. Detta ”en aning” bestäms genom ett ”samspel” av osäkerheten i den prognosen av felet och verifierande observationen. Med sin matematiska konstruktion söker filtret de minsta ändringar i felekvationen som krävs för att anpassa ekvationen till den nya informationen.